3. Математические закономерности композиции. Золотое сечение

Еще в глубокой древности человеком было обнаружено, что все явления в природе связаны друг с другом, что все пребывает в непрерывном движении, изменении, и, будучи выражено числом, обнаруживает удивительные закономерности. В Древней Греции эпохи классики возник ряд учений о гармонии. Из них наиболее глубокий след в мировой культуре оставило Пифагорейское учение. Последователи Пифагора представляли мир, вселенную, космос, природу и человека как единое целое, где все взаимосвязано и находится в гармонических отношениях. Гармония здесь выступает как начало порядка — упорядочивания хаоса. Гармония присуща природе и искусству: «Одни и те же законы существуют для музыкальных ладов и планет». Пифагорейцы и их последователи всему сущему в мире искали числовое выражение. Ими было обнаружено; что математические пропорции лежат в основе музыки (отношение длины струны к высоте тона, отношения между интервалами, соотношение звуков в аккордах, дающих гармоническое звучание). Пифагорейцы пытались математически обосновать идею единства мира, утверждали, что в основе мироздания лежат симметричные геометрические формы.

Пифагорейцы искали математическое обоснование красоте. Они исследовали пропорции человеческого тела и утвердили математический канон красоты, по которому скульптор Поликлет создал статую «Канон». Все классическое искусство Греции носит печать пифагорейского учения о пропорциях. Его влияние испытали на себе ученые средневековья, наука и искусство эпохи Возрождения, Нового времени вплоть до наших дней. Вслед за пифагорейцами средневековый ученый Августин назвал красоту «числовым равенством». Философ схоласт Бонавентура писал: «Красоты и наслаждения нет без пропорциональности, пропорциональность же прежде всего существует в числах. Необходимо, чтобы все поддавалось счислению». Об использовании пропорции в искусстве Леонардо да Винчи писал в своем трактате о живописи: «Живописец воплощает в форме пропорции те же таящиеся в природе закономерности, которые в форме числового закона познает ученый».

Таким образом, пропорциональность, соразмерность частей целого является важнейшим условием гармонии целого и может быть выражена математически посредством пропорций.

Пропорция означает равенство двух или нескольких отношений. Существует несколько видов пропорциональности: математическая, гармоническая, геометрическая и др.

В математической равенство двух отношений выражается формулой a : b = с : d, и каждый член ее может быть определен через остальные три.

В гармонической пропорции 3 элемента. Они являются или попарными разностями некоторой тройки элементов, или самими этими элементами, например:

а : с = (а — в) : (в — с)

В геометрической пропорции тоже всего 3 элемента, но один из них общий:

а : в = в : с

Разновидностью геометрической пропорции является пропорция так называемого «золотого сечения», имеющая всего два члена «а» и «в» — излюбленная пропорция художников, которую в эпоху Возрождения называли «божественной пропорцией».

Особенностью пропорции золотого сечения является то, что в ней последний член представляет собой разность между двумя предыдущими членами, т. е.:

а : в = в : (а — в)

Отношение золотого сечения выражается числом 0,618.

Пропорция золотого сечения:

1 : 0,618 = 0,618 : 0,382

Если отрезок прямой выразить через единицу, а затем разделить его на два отрезка по золотому сечению, то больший отрезок будет равен 0,618, а меньший 0,382. На рис. показано деление отрезка на части по золотому сечению:

золотое сечение